இராமானுஜன் இறந்து நூறாண்டுகள் ஆகிறது. அவரது அதீத, இன்றளவும் உலகம் மீண்டும் காணாத, கணித மேதையான அவரை பலகோணங்களில் காணலாம். அவர் ஒரு தமிழ்மகன் கூட என்றும் வலியுறுத்தி சொல்லவேண்டியது உண்டு. உலகளாவிய பலரும் இராமானுஜனின் கதையில் தமது வேட்கைக்கு ஊக்குவிப்பு தேடுகையில், தமிழராகிய நாமும் அவரது வெற்றிகளில் ஒரு வழி, ஒரு இலட்சிய இலக்கு தெறிகிறது என்றும் எண்ணலாம்; இவரை ஒரு தனிப்பட்ட இனக்குழு, மொழி, நாடு அல்லது துறைசார் நிபுணர் என்று மட்டும் பார்க்காமல் அவரது ஆளுமையில், வெற்றிவேட்கையில், அகால மறைவில் ஒரு மனித சோதனை-வெற்றி-பரிதாபம் என்றெல்லாம் பிரபஞ்சத்தின் உண்மைகளை கண்ட ஒரு தமிழ்மகனாகவும் பார்க்கிறோம்.
Princeton Companion to MathematicsRamanujan – biography (Princeton companion to Mathematics)Princeton Companion to Mathematics
Corollary 2 of Theorem 3: ஒரே சொல்லில் எழுத்து இரடிக்கப்பட்டால் அந்த சொல் டோரசில் ஒரு சுழலுடன் [loop] கொண்டபடி அமையும்.
Lemma 2: படுக்கவசமாகவும், நிமிர்ந்துவசமாகவும் அமைகப்பட்ட சொர்கள் மொழியில் இல்லாதவை.
Corollary 3 or Theorem 3: டோரசில் படுக்கவசமாகவும், நிமிர்ந்துவசமாகவும் பாதைகள்/எழுத்துக்கள் இல்லாதவை.
Theorem 4: ஒரு அகராதியில் உள்ள சொர்கள் அனைத்தையும் டோரசில் பிரதிபலித்தால் அந்த குறுக்கிடும் இடங்களின் [intersecting points] ஒன்று அல்லது மெர்பட்ட சொற்களை] எண்ணிக்கை அளவை மிக குறைவாக்கும் வண்ணம் அமைக்க முடியாது. அதாவது ஒரு அகராதியின் சொற்கள் அனைத்து எவ்வித அமைப்பில் உள்ள டோரசானாலும் சரி அதன் குறுக்கிடும் இடங்களின் எண்ணிக்கை மாராது. இது ஒரு மாறிலி [invariant].
Corollary 1 of Theorem 4: மேர்கண்ட டோரசில் [அதன் ஒரு பிரதிபலிப்பில் – ‘அ,ஆ,இ,ஈ, … ,ஒ,ஓ,ஔ‘ என்றும் ‘கசடதபர – யரலவழள – ….’ என்றும் வரிசையிலோ, அல்லது வேறு பரிமாணங்களில் அடுக்கியிருந்தால்] ஒவ்வொரு அகராதிக்கும் ஒரு சிரப்பான குறுக்கிடும் இடங்களின் எண்ணிக்கை கிடைக்கும். இந்த எண் அகராதியின் கையொப்பம் [signature] என்றும் சொல்லாம்.
Theorem 5: டோரசில் உள்ள ஓவ்வொரு அகராதி சொல்லும் ஒரு பாதை என்று கொள்ளலாம். சொல்லின் தொடக்க எழுத்து பாதையின் தொடக்கத்தையும், சொல்லின் கடைசி எழுத்து பாதையின் முடிவையும் குறிக்கும்; பாதை திசைகொண்ட பாதையாக இருக்கும் – ஒரு அம்பு தொடக்கத்தில் இருந்து முடிவின் திசையில் வழி காட்டும். ஆகையால் அகராதியில் இல்லாத பாதைகள் பிழையாக எழுதப்பட்ட அகராதி சொற்களுக்கு சமம், அல்லது அகராதியில் இல்லாத புதிய சொற்களுக்கு சமம்.
வாதம் [ஆதாரத்தின் தொடக்கமாக கருத்ப்படலாம்]: டோரசில்ஒவ்வொரு சொல்லும் [அதன் பாதையும்] அகராதியில் உள்ள சொற்களாகவே இருக்கவேண்டும். Coding-theory / error correction codes theory படி இவ்வகை சரியான எழுத்துக்கள் உள்ள பாதைகள், சரியான சொற்களாகவும், தவான சொற்கள் [இல்லாத சொற்கள்] பிழையானவை என்வும் அமையும். இவ்வாரான சொற்கள் சரியானவையையின் சொற்பிழை எனவும் கருதப்பாடும்.
Corollary 1 of Theorem 5: மேர்கண்ட டோரசில் முழு அகராதி பிரதிபலிக்கப்பட்டதால், இதனைக்க்கொண்டு ஒரு சொற்பிழை திருத்தி செய்யலாம். பிழையான் சொல்லின் திருத்தம், அதன் நெருங்கிய தொலைவில் உள்ள சரியான் சொல் என்பதை நடைமுரைவிதியாகக்கொண்டு இதனை அமல்படுத்தலாம்.
Theorem 6: Tries எனப்படும் சொல்மரங்களைக்கொண்ட தரவமைப்பை டோரசில் குறியிட்டால், அது தொடர்பாதையாக ஒரே தொடக்கமும், பல பாதைமுடிவுகளையும் கொண்டதாக அமையும். இவற்றில் சில பாதைகள் சேரும் வகையில் முடிவுபெரும் வகையிலும் அமையலாம்.
படம் 2: Trie மரம் என்ற தரவமைப்பு. இதில் ‘to’, ‘tea’, ‘ted’, ‘ten’, ‘A’, ‘in’, மற்றும் ‘inn’ ஆகிய சொற்கள் இடம் பெற்றுள்ளன.
உதாரணத்திற்கு, படம் 2-இல் முடியும் நிலை நுனிகள் ‘n’ என்பவை டோரசில் வரும்பொழுது சேரும் வகையில் முடிவுபெரும் வகையில் அமையும்.
தமிழ் ஒரு வடை [அதாங்க – டோரஸ்]. வடை என்றால் சராசரி உளுந்து வடைதாங்க [படம்: இடது]. Donut. Torus [படம்: வலது].
.
இதை எப்படி நம்ம சொல்லுரது ? அதாங்க வடையின் இரு திசைகளில், உயிர் எழுதுக்களை தரை மட்டம் அளவிலும், குறுக்கே மெய்யெழுதுக்களும் அமைத்தும், இவ்விரண்டு வரிகளின் குறுக்குச் சந்திப்பு இடங்களில் அந்தந்த உயிர்மெய் எழுதுக்கள் வரும் படி அமைத்தால் தமிழும் ஒரு வடை.
ஆகயால், எவ்வித ‘அபுகிடா’ [abugida] மொழிகளையும் ஒரு வடையில் எழுதலாம்.
Theorem 1: சொற்களை வடையில் பிரதிபலிக்கலாம்.
சொற்களில் எழுதுக்கள் உள்ளன. லெம்மா 1, படி எழுதுக்கள் வடையில் பிரதிபலிக்கலாம். அடுதடுத்து வரும் சொல்லின் எழுதுக்களை அம்பின் வாயிலாக கோர்த்து அமைத்தால் அது ஒரு வடையில் பிரதிபலிக்கும் ஒரு வகையாகும்.
Theorem 2: மேற்கண்ட படைப்பின் விதி படி விகடகவி – சொற்கள் [anagram] சுழல்-வட்டமாக அமையும்
விகடகவி சொற்கள் முன் பின் திசைக்கு வேற்றுமையில்லாமல் வசிக்கும் தன்மையுடயவை. அதனால் இவை சரியாக தொடங்கும் சொல்லில் முடியவெண்டும். எனவே இவற்றின் பிரதிபலிப்பு சுழல்-வட்டமாக அமயும்.
Theorem 3: Two words that don’t intersect in torus don’t share common letters
Corollary of Theorem 3: Two words that share letters will intersect.
கணிதம் என்பதை அறுவை, போர் ஆக்குவது என்பது சிறுவர்களுக்கு உடனடியாக விளங்காத சூத்திரங்களையும், வாய்ப்பாடு பட்டியல்களையும் நினைவில் கொள்ள செய்வது. பத்தாத குறையாக கேள்வி எழுப்பும் குழந்தைகளையும் அடி கொடுப்பது – இதுவே நமது இன்றைய பள்ளி நிலை. இதன் விளைவு என்ன ? கணக்கு வாத்தி என்பவரை கண்டாலே ஓடும் பயம் மட்டுமே பெரும்பாலானோர் மனதில் கொள்கின்றனர்.
மாறாக, வாய்ப்பாடு என்பது என்ன ?
இரு எண்களை பெருக்க வேண்டுமானால் முதலில் அவற்றின் வாய்ப்பாடு நினைவில் இருந்தால் எளிதாக கணிதம் செய்யலாம்.
பெருக்கல் கணித செயல்பாட்டின் இயல்புகளை கொண்டு சில விடைகளை எளிதாக கணக்கிட முடியும்.
1) உதாரணமாக, அ பெருக்கல் ஆ என்பதின் விடை ஆ பெருக்கல் அ என்றும் அமையும். இதனை ஒரு சமன்பாடு என்றும் எழுதலாம்,
அ x ஆ = ஆ x அ
இதனால் நீங்கள் 1 முதல் 15 வாய்ப்பாடு 12 எண்கள் வரை மனப்பாடம் செய்யும் வகை எவரும் கேட்டல் 1 முதல் 12 வாய்ப்படை 15 எண்கள் வரை மட்டுமே நினைவில் கொள்ள வேண்டும்!
2) மேலும், இரண்டில் ஏதேனும் ஒரு எண் 10, 100, 1000 என 10-இன் மூலம் ஆகா இருந்தால் அதன் விடை சுலபமாக மற்ற எண் பின் பூஜியுங்களை சேர்த்தது போல் அமையும்.
123 x 100 = 12,300
3) பெருக்கல் என்ற கணக்கின் விடை என்பதை கூட்டினால் ( modulo 9 ) இந்த பெருக்கலில் உள்ள இரு எண்களையும் modulo 9 கூட்டி மீண்டும் பெருக்கி மீண்டும் modulo 9 செய்த எண் என்பதற்கு சமம். இது ஒரு (necessary but not sufficient) தேவையான ஆனால் தீர்மானிக்கபடாத தேவை.
123 x 45 = 5535
இதனை எண்ணிம இலக்கு மூலம் கூடினால் (digital sum)
6 x 9 = 18, (இடது பக்கத்தில் 123 எண் 1 + 2 + 3 = 6, எனவும், 4 + 5 = 9 எனவும் மாறும்.)
5 4 = 9 ( வலது புரம் 1 + 8 = 9, இடது புரம் 6 x 9 = 54 எனவும் உள்ளது)
9 = 9
மேலும் பெருக்கல் என்பதற்கு நிறைய தன்மைகள் உண்டு. இவற்றை கற்று கொண்டால் நீங்கள், அல்லது உங்கள் மாணவர்கள், குழந்தைகள், இந்த வாய்ப்பாடு என்பதை கண்டு பயந்து ஓட வேண்டாம். கணிதம் என்பதை நண்பர் ஆகா ஆக்கி கொள்ளுங்கள்.
